CONJUNTOS
HISTORIA: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS
George Cantor (1845-1918) fue quien
prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del
siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas
como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta
tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo
basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace
estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a
las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos.
El problema apareció cuando se comenzaron a
encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de
Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más paradojas, incluyendo
al mismo Cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó en un
apéndice de su libro "Principios de las matemáticas".
Cuando los matemáticos supieron de esta
paradoja, muchos se preguntaron si las matemáticas en realidad eran
consistentes, y sobre todo verdaderas, ya que cualquier suposición matemática
podía basarse en una teoría inconsistente.
La primera propuesta para solucionar el
problema de las paradojas provino de un matemático holandés llamado Brouwer,
quien propuso una redefinición radical de todas las matemáticas y prometió una
solución al conflicto. El programa de Brouwer se basaba en lo más simple de la
intuición: el aceptaba los conceptos que son aparentes a la intuición general.
Esta filosofía rechazaba muchos principios fundamentales de las matemáticas,
pero en cambio, solucionaba satisfactoriamente el problema de las paradojas.
Particularmente Brouwer rechazaba el principio del medio excluido, el cuál
decía que los elementos de un conjunto o bien tienen una propiedad A o no la
tienen, lo cuál sería la negación de la propiedad A. A esta corriente de
pensamiento se le llamó intuicionismo.
DEFINICION:
Un conjunto es una colección cualquiera de
objetos, números o símbolos, la cual puede ser finita o infinita.
A=(a,e,i,o,u)
Nota: escribiremos los conjuntos siempre con
letras mayúsculas A, B, C,…y a sus objetos o símbolos q llamaremos elementos,
siempre los escribiremos con letras minúsculas a, b, c,…
REPRESENTACION DE CONJUNTOS POR EXTENSION:
Un conjunto se
dice que esta definido por extension si se enumera absolutamente todos sus
elementos.
Ejemplo:
A = {2, 4, 6, 8, 10,….}
NOTA:
La caracteristica en esta
representacion es q los elementos estan separados por “comas”.
REPRESENTACION DE CONJUNTOS POR COMPRENSION:
Un conjunto se define por
comprension, si se da alguna propipedad que caracteriza a sus elementos.
Es decir:
A = { x /p (x) }
Comjuntos de elementos que
satisfacen la propiedad p
Este simbolo se “/” se lee “tal que”
Ejemplo:
A = { x € N / x < 5 }
B = { x par / x + 1 = 5 }
Observacion:
Es posible representar un conjunto
en cualquera de las dos formas anteriores, indistintivamente. Es decir dado un
conjuntoen la forma de comprension, se los puede transformar a la forma de
extension ( viceversa).
